miércoles, 8 de junio de 2016

Unidad 2 "medidas de tendencia central y medidas de dispersion"

Unidad 2  MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y MEDIDAS DE DISPERSION


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
 
 




Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.
El propósito de las medidas de tendencia central es:
Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.
Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.
Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.
Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.
El símbolo de la suma
Sumatoria: es el símbolo que representa el número total de datos que fueron sumados. Su notación es mediante el uso de la letra griega sigma Σ en la parte superior e inferior del símbolo se indican los números iniciales y finales. Para el número inferior o inicial se indica con la letra i igual a valor inicial colocado abajo del signo sigma. En la parte superior se representa con la letra n que son las veces que se va a repetir el número. Enfrente del signo viene la operación que vamos a desglosar y para este caso utilizamos la variable X.
Media Aritmética:
Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.





MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
La mediana para datos no agrupados Cuando una serie de datos contiene uno o dos valores muy grandes o muy pequeños, la media aritmética no es representativa. El valor central en tales problemas puede ser mejor descrito usando una medida de tendencia central llamada mediana.
La mediana (Me) es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud. Hay tantos valores antes que la mediana como posteriores en el arreglo de datos. 
       
Media Ponderada
La media ponderada es una medida de tendencia central, que es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación (peso) para luego sumarlos, obteniendo así una suma ponderada; después se divide ésta entre la suma de los pesos, dando como resultado la media ponderada.
La media ponderada se calcula de la siguiente manera
\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i w_i }{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{ x_1 w_1 + x_2 w_2 + x_3 w_3 + ... + x_n w_n }{w_1 + w_2 + w_3 + ... + w_n}
 MODA
En estadística la moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Moda para datos no agrupados
Para hallar la moda en datos no agrupados solo basta con contar la repetición de números iguales y el número más repetido será el valor de la moda
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5              Mo = 3
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9,      Mo= 1, 5
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9             Mo= NO HAY MODA
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8             Mo =  4
MODA PARA DATOS AGRUPADOS
Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente fórmula:
{\displaystyle M=L_{i}+\left({\frac {D_{1}}{D_{1}+D_{2}}}\right)A_{i}}






MEDIANA
La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente. 
La mediana se representa por  Me.




MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana para datos no agrupados Cuando una serie de datos contiene uno o dos valores muy grandes o muy pequeños, la media aritmética no es representativa. El valor central en tales problemas puede ser mejor descrito usando una medida de tendencia central llamada mediana.
La mediana (Me) es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud. Hay tantos valores antes que la mediana como posteriores en el arreglo de datos. 
 MEDIANA DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuánto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS NO AGRUPADOS
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.
Las medidas de dispersión son:
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.
Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media

RANGO
El rango o recorrido intercuartílico es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R.
·         Ordenamos los números según su tamaño.
·         Restamos el valor mínimo del valor máximo

DESVIACIÓN MEDIA

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por 


 DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.


Desviación media para datos agrupados     

VARIANZA
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
La varianza se representa por signo.


 VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS
Para calcular la varianza de una tabla de frecuencias, es necesario utilizar la siguiente fórmula:



Donde:

VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la varianza de un conjunto de datos no agrupados se utiliza la fórmula:








UNIDAD ll MEDIDAS DE TENDENCIA  CENTRAL Y MEDIDAS DE DISPERSION
EJERCICIOS







Ejemplo:

1.- Juan pesca 4 pescados de 20,23.26 y 16 kg ¿Cuál es la longitud media de los peces?


RESULTADO: X=  20+23+26+16     89/4=   23.75

                                     4

2.- Determina el valor de la media aritmética  para el siguiente conjunto de datos.
INTERVALO
 FRECUENCIA
XI
FI
0-10
5
5
25
10-20
12
15
180
20-30
21
25
525
30-40
27
35
945
40-50
31
45
1395
50-60
35
55
1925
60-70
21
65
1365
70-80
14
75
1050
80-90
5
85
425
90-100
5
95
475
TOTAL
180




8650/180   =   48.055




3.- Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.




EJERCICIOS A REALIZAR:
1.- Obtener  el valor de la media  aritmética para los siguientes datos de la siguiente tabla frecuencia.
INTERVALO
FRECUENCIA
 MI O XI
FI
40-42
32


42-44
55


44-46
83


46-48
63


48-50
42


50-52
10


52-54
99




2- A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

3.- El número de horas que Carmen ha visto la tele durante cada día de la semana pasada es:

3, 2, 3, 3, 2, 6, 3

MEDIA PONDERADA
EJEMPLOS
1.-     En un poblado viven 5000 mil habitantes  de los cuales 2723 son mujeres con un promedio de edad de 28 años
¿Cuál  es el promedio de edad de los habitantes de esa región?

X= (2723) (18) + ( 2227) (28)
                               5000  

49014 + 63766= 1112 ,28
                   5000                        =  22.554
2.-  En San Mateo Atenco  viven 15,500 habitantes 8,000 son mujeres con promedio de edad de 21 años 45%  son hombres con un promedio de edad de 9 años
¿Cuál es el promedio de edad de los habitantes de San Mateo Atenco?


15,000 (45)      = 6.975 H
            100

(8000) (21) + 6975 (23) + 525)
                    15,500                  = 21,49354




EJERCICIOS A REALIZAR:

1.- En el pueblo de San Sebastián  viven 4000 personas de los cuales 2500 son mujeres, con un promedio de edad de 18 años, y el resto son hombres  con edad de 22 años.

¿Cuál es el promedio de edad de los habitantes de San Sebastián?









2.- En junio un inversionista compró 300 acciones de Oracle a un precio de $ 20 por acción, en agosto compró 400 acciones más a $ 25 cada una, y en noviembre 400 a $ 23 por acción. Cuál es el precio medio ponderado por acción.




3.-  En la ciudad de Toluca, viven 50,000 mil personas  10,000 son niñas con un promedio de edad de 10 años  el 27% son niños con una edad de 9 años.
¿Cuál es el promedio de los habitantes de Toluca.?




MODA
La moda es el valor con mayor frecuencia en una distribución de datos.

EJEMPLOS:

1.- 1,3,4,2,3,6,3,2,5,7,3,4,3
La moda es 3

2.- 10,15,13,14,10,5,13,12,21,13,7,6,7,10,3
En este caso la moda es 10 y 13 pero se le nombra bimodal


3.- 0.5, 0.2 , 0.7 ,0.9, 0.1, 0.6, 0.8, 0.3, 0.4.
No hay moda

Formula de Moda para datos agrupados










4.- Obtener la moda  para la siguiente conjunto de datos utilizando al formula.

NUMERO
INTERVALO
FRECUENCIA
1
0-1000
12
2
1000-2000
37
3
2000-3000
72
4
3000-4000
47
5
4000-5000
65
6
5000-6000
55
7
6000-7000
96
8
7000-8000
80
9
8000-9000
54
10
9000-10000
41
    


X= 6000       41
                     41+16             (1000)
X= 6000 +719- 2932


X 6719-2932



EJERCICIOS A REALIZAR


1.- Determina el valor de la moda para la siguiente conjunto de datos

NUMERO
INTERVALO
FRECUENCIA
1
1.0-1.9
13
2
2.0-2.9
43
3
3.0-3.9
20
4
4.0-4.9
25
5
5.0-5.9
40
6
6.0-6.9
15
7
7.0.7.9
8




PROCEDIMIENTO:





2.- Calcula la moda del siguiente listado:

5,1,7,8,1,5,4,1,7,0,1,5,9,7,2,4,6,1,8,9

3.- Cual es la moda del siguiente conjunto de letras:

A,V,G,A,D,T,Y,G,S,D,H,J,L,A,A,W,E,R,D,A,S,C,F,H,S,F,Z.Ñ.Ñ.Ñ.Q.A.S.D.A


MEDIANA:
La mediana (del latín mediānus 'del medio'1 ) representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

EJEMPLOS:
1.- Hallar la mediana de la siguientes series de números:
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.
2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 8, 9.
Me = 5

2.- Hallar la mediana de las siguientes series de números:
10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20
Me= 10

3.- Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12
Me = 9.5

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

EJEMPLO 1
NUMERO
INTERVALO
FRECUENCIA
FRECUENCIA A.
1
100-110
4
4
2
110-120
7
11
3
120-130
11
27
4
130-140
17
39
5
140-150
25
64
6
150-160
33
97
7
160-170
30
127
8
170-180
21
148
9
180-190
16
164
10
190-200
7
171


h/2 171= 85.5 = 86

FA= 64                                     X=150            85.5 -64                (20)= 150+ 21.3/33
Fx= 33                                                                33
L= 150
C= 10                                   X= 156.5151









REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

Determina el valor de la mediana del siguiente conjunto de datos.
INTERVALO
FRECUENCIA
F. ACOMULADA

1
2


2
15


3
21


4
18


5
26


6
19


7
13




2.-  Determina la mediana del siguiente listado de números.


4.13.12.7.4.8.7.14.19.13.14.25.23

3.- Hallar la mediana de las siguientes series de números:
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 8, 9.8,8,4,0,1,5,0,4,9,7,8


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