INTRODUCCIONA LA PROBABILIDAD
Espacio muestral
Es el
conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria,
lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Ejemplos
Espacio muestral de una
moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto
del espacio muestral.
Por ejemplo, al tirar un dado
un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Ejemplos de espacios muestrales
1. Una bolsa contiene bolas
blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.
E = {(b,b,b); (b,b,n);
(b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres
bolas del mismo color}.
A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso B = {extraer al
menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b);
(n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso C = {extraer una
sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b);
(n,b,b)}
EJERCICIOS
1-
Un
estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el
espacio muestral de este experimento aleatorio.
2-
Otro
estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior. a) Escriba
el espacio muestral.
DEFINICION
DE PROBABILIDAD
La
probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las
posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Experimentos
deterministas
Son los
experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas,
que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante
un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.
Experimentos
aleatorios
Son
aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende delazar.
Ejemplos:
1)Si
lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
2)Si
lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
EJERCICIOS
*Hallar la probabilidad de
que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que
9 o que sea múltiplo de 4.
*En una clase hay 10 alumnas
rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 44
alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta:
Aplicaciones actuales de la probabilidad
Aplicaciones de la
Probabilidad
"Una de las primeras
aplicaciones de la probabilidad fue en las ciencias actuariales, que comprenden
el estudio de seguros de vida, fondos de pensiones y problemas relacionados.
Otro uso importante de la probabilidad está en la estadística, la cual penetra
en una multitud de campos, tales como finanzas, economía, biología, psicología
y las ciencias sociales en general. El cálculo de probabilidades también se
emplea en la física y química modernas y en muchas ingenierías
Ejemplos:
*en la teoría de ajuste por mínimos cuadrados,
*en el estudio de problemas de aglomeración
(problemas de tráfico),
*en la teoría de muestreo y en el control de
calidad de productos manufacturados."
Probabilidad
Frecuencial
|
La probabilidad
frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o
experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin
embargo, no es definitiva, por lo que es importante saber interpretar los
resultados que se obtienen.
La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A), se obtiene dividiendo el número de veces que ocurre el evento entre el número total de veces que se realizó el experimento. |
||
|
P (A) =
|
|
|
|
Como el
valor de la probabilidad es el de la frecuencia relativa, la probabilidad es
un número entre 0 y 1, que puede expresarse en forma de
fracción, número decimal y porcentaje.
|
||
Después de jugar 30 partidas de dados, dos jugadores obtuvieron los siguientes resultados:
|
Partida 1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
|
Jugador 1
|
8
|
3
|
8
|
3
|
3
|
3
|
8
|
3
|
3
|
8
|
3
|
8
|
3
|
8
|
3
|
|
Jugador 2
|
2
|
6
|
2
|
6
|
2
|
6
|
6
|
2
|
2
|
6
|
2
|
6
|
6
|
6
|
2
|
|
Ganador
|
1
|
2
|
1
|
2
|
1
|
2
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
1
|
|
Partida 2
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
|
Jugador 1
|
8
|
3
|
3
|
3
|
8
|
3
|
3
|
3
|
3
|
8
|
3
|
3
|
3
|
3
|
8
|
|
Jugador 2
|
2
|
6
|
2
|
2
|
6
|
6
|
6
|
2
|
2
|
6
|
6
|
2
|
2
|
6
|
2
|
|
Ganador
|
1
|
2
|
1
|
1
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
1
|
2
|
1
|
EJEMPLOS
De un recipiente con 5 pelotas de
diferentes colores, Silvia sacaba pelotas de una en una, regresando cada pelota
antes de volver a sacar otra. En la siguiente tabla se registraron los
resultados del experimento.
|
Color
de las pelotas
|
Verde |
Rojo |
Anaranjado |
Amarillo |
Azul |
|
Veces
que salió
|
132
|
108
|
120
|
126
|
114
|
¿De qué
color es la pelota cuyo porcentaje de probabilidad de salir en este
experimento es 2%menor que su probabilidad teórica de salir?
La pelota de color amarillo.
La pelota de color rojo.
La pelota de color verde.
La pelota de color azul.
Solución
Calcula
la probabilidad teórica de que salga una pelota de cada color. En este caso hay la misma cantidad de pelotas de
cada color por lo que la probabilidad teórica es igual para todas las pelotas.
En este caso el espacio muestral es
de 5 pelotas y hay 1 pelota de cada color.
|
=
|
0.2
|
La
probabilidad teórica de que salga una pelota es de 0.2.
El
porciento de probabilidad teórica de que salga una pelota es de 0.2 x 100 = 20%
Calcula el porciento de probabilidad de la pelota
que buscamos. En este
caso buscamos una pelota cuya probabilidad frecuencial de salir en este
experimento es 2% menor que su probabilidad teórica de
salir:
|
20% - 2% = 18%
|
Hay que
encontrar la pelota que tiene un porciento de probabilidad frecuencial del
18% de salir en este experimento.
Calcula la cantidad total de veces que se repitió
el experimento:
|
132 + 108 + 120 + 126 + 114 = 600
|
El
experimento se repitió en total 600 veces.
Calcula la probabilidad frecuencial de
sacar una pelota de color verde en
este experimento:
|
=
|
0.22
|
La probabilidad de sacar una pelota de color verde
es de 0.22.
|
0.22 x 100 = 22%
|
El
porciento de probabilidad de sacar una pelota de color verde es de 22%.
Calcula la probabilidad frecuencial de
sacar una pelota de color rojo en
este experimento:
|
=
|
0.18
|
La probabilidad de sacar una pelota de color rojo
es de 0.18.
|
0.18 x 100 = 18%
|
El porciento
de probabilidad de sacar una pelota de color rojo es de 18%.
Calcula la probabilidad frecuencial de
sacar una pelota de color anaranjado en este experimento:
|
=
|
0.2
|
La probabilidad de sacar una pelota de color
anaranjado es de 0.2.
|
0.2 x 100 = 20%
|
El
porciento de probabilidad de sacar una pelota de color anaranjado es de 20%.
Calcula la probabilidad frecuencial de
sacar una pelota de color amarillo en este experimento:
|
=
|
0.21
|
La probabilidad de sacar una pelota de color amarillo
es de 0.21.
|
0.21 x 100 = 21%
|
El
porciento de probabilidad de sacar una pelota de color amarillo es de 21%.
Calcula la probabilidad frecuencial de
sacar una pelota de color azul en
este experimento:
|
=
|
0.19
|
La probabilidad de sacar una pelota de color azul
es de 0.19.
|
0.19 x 100 = 19%
|
El
porciento de probabilidad de sacar una pelota de color azul es de 19%.
Selecciona
tu respuesta:
La pelota de color amarillo.
La pelota
de color rojo.
La pelota de color verde.
La pelota de color azul.
EJERCICIOS
•
Calculen la probabilidad frecuencial del evento “caer seis” que se obtuvo en
todo el grupo Resultados en el equipo Frecuencia Total de lanzamientos Caer
seis Caer dos Número de veces que cae seis P (caer seis en el grupo) = Número
total de lanzamientos• ¿Es mayor la del equipo? _________ ¿Es menor?________
¿Es igual?_______• ¿Crees que si repites el experimento de lanzar 10 veces un
dado obtendrás la misma probabilidad frecuencial? ¿Por qué?
_________________________________________________
1.15 Frecuencia absoluta
La distribución o tabla de frecuencias es una tabla de los datos
estadísticos con sus correspondientes frecuencias.
·
Frecuencia
absoluta: el número de veces que aparece un valor, se representa con fi donde el subíndice representa cada uno de los valores.
La suma de las frecuencias
absolutas es igual al número total de datos, representado por N.
f1+f2+f3+…+fn=N
Equivalente
a
∑i=1nfi=N
·
Frecuencia relativa: el resultado de
dividir la frecuencia absoluta de un determinado valor entre el número total de
datos, se representa por ni.
ni=fiN
La suma de las frecuencias
relativas es igual a 1. Lo cual puede verse fácilmente si se factoriza N.
Ejemplo
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado
las siguientes temperaturas máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30,
32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable
ordenada de menor a mayor y en la segunda anotamos la frecuencia absoluta.
Ejemplo 2
Un profesor tiene la lista de las notas en matemáticas de 30
alumnos de su
clase. Las notas son las siguientes:
Primero
se realiza el recuento de la variable que se estudia (notas)
para ver el número de veces que aparece cada nota y obtener las frecuencias absolutas.
Las frecuencias
absolutas son
las siguientes: n1(3)=2,
n2(4)=4,
n3(5)=6,
n4(6)=7,
n5(7)=5,
n6(8)=3,
n7(9)=2
y n8(10)=1.
Finalmente se pueden calcular las frecuencias absolutas
acumuladas como la suma de las frecuencias
absolutas de
los valores menores o iguales a Xi:
§ N1(3)=n1(3)=2
§ N2(4)=n1(3)+n2(4)=2+4=6
§ N3(5)=n1(3)+n2(4)+n3(5)=2+4+6=12
§ N4(6)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)=2+4+6+7=19
§ N5(7)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)=2+4+6+7+5=24
§ N6(8)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)=2+4+6+7+5+3=27
§ N7(9)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)+n7(9)=2+4+6+7+5+3+2=29
§ N8(10)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)+n7(9)+n8(10)
§ =2+4+6+7+5+3+2+1=30
Si se
agrupan los datos en una tabla y a cada valor se le asigna
su frecuencia, se puede construir la tabla de
frecuencias.
§ Frecuencia
relativa (fi): de
un valor Xi es la proporción de
valores iguales a Xi. Es decir, la frecuencia absoluta de cada
valor dividida por el número total de elementos N.
§ Frecuencia relativa acumulada (Fi): de un valor Xi como
la proporción de valores iguales o menores a Xi. Es decir, la frecuencia absoluta acumulada dividida por el número total de sujetos N.
Resuelve
y analiza los siguientes ejemplos.
La frecuencia de los alumnos que miden 1.60 m es 1; la frecuencia de los
alumnos que miden 1.55 m es 2, etcétera.
|
Estatura
|
Frecuencias
|
|
1.60 m
|
1
|
|
1.55 m
|
2
|
|
1.50 m
|
10
|
|
1.45 m
|
15
|
|
1.40 m
|
2
|
|
1.35 m
|
3
|
|
1.30 m
|
1
|
|
1.25 m
|
1
|
|
Total
|
35
|
Después de analizar la información de los
resultados, podemos responder las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es
la frecuencia de los alumnos que miden 1.45?
2. ¿Cuál es
la frecuencia de los alumnos de 1.30?
3. ¿Cuántos
integran el grupo?
4. ¿Cuántos
miden menos de 1.40?
5. ¿Cuál es
la diferencia de estatura entre el más alto y el más bajo?
Un dentista observa el número de caries en cada uno
de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida a parecer resumida
en la siguiente tabla:
|
Nº de caries
|
fi
|
ni
|
|
0
|
25
|
0.25
|
|
1
|
20
|
0.2
|
|
2
|
x
|
Z
|
|
3
|
15
|
0.15
|
|
4
|
y
|
0.05
|
Completar
la tabla obteniendo los valores x, y, z.
-La suma
de las frecuencias relativas ha de ser igual a 1:
-La
frecuencia relativa de un dato es igual su frecuencia absoluta dividida entre
100, que es la suma de las frecuencias absolutas.
1.1.6 Frecuencia Relativa
La frecuencia
relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número
total de datos.
La frecuencia
relativa se puede
expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias
relativas es
igual a 1.
1.15 Frecuencia absoluta
La distribución o tabla de frecuencias es una tabla de los datos
estadísticos con sus correspondientes frecuencias.
·
Frecuencia
absoluta: el número de veces que aparece un valor, se representa con fi donde el subíndice representa cada uno de los valores.
La suma de las frecuencias
absolutas es igual al número total de datos, representado por N.
f1+f2+f3+…+fn=N
Equivalente
a
∑i=1nfi=N
·
Frecuencia relativa: el resultado de
dividir la frecuencia absoluta de un determinado valor entre el número total de
datos, se representa por ni.
ni=fiN
La suma de las frecuencias
relativas es igual a 1. Lo cual puede verse fácilmente si se factoriza N.
Ejemplo
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado
las siguientes temperaturas máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30,
32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable
ordenada de menor a mayor y en la segunda anotamos la frecuencia absoluta.
Ejemplo 2
Un profesor tiene la lista de las notas en matemáticas de 30
alumnos de su
clase. Las notas son las siguientes:
Primero
se realiza el recuento de la variable que se estudia (notas)
para ver el número de veces que aparece cada nota y obtener las frecuencias absolutas.
Las frecuencias absolutas son las siguientes: n1(3)=2, n2(4)=4, n3(5)=6, n4(6)=7, n5(7)=5, n6(8)=3, n7(9)=2 y n8(10)=1.
Finalmente se pueden calcular las frecuencias absolutas
acumuladas como la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a Xi:
§ N1(3)=n1(3)=2
§ N2(4)=n1(3)+n2(4)=2+4=6
§ N3(5)=n1(3)+n2(4)+n3(5)=2+4+6=12
§ N4(6)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)=2+4+6+7=19
§ N5(7)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)=2+4+6+7+5=24
§ N6(8)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)=2+4+6+7+5+3=27
§ N7(9)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)+n7(9)=2+4+6+7+5+3+2=29
§ N8(10)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)+n7(9)+n8(10)
§ =2+4+6+7+5+3+2+1=30
Si se
agrupan los datos en una tabla y a cada valor se le asigna
su frecuencia, se puede construir la tabla de
frecuencias.
§ Frecuencia
relativa (fi): de
un valor Xi es la proporción de
valores iguales a Xi. Es decir, la frecuencia absoluta de cada
valor dividida por el número total de elementos N.
§ Frecuencia relativa acumulada (Fi): de un valor Xi como
la proporción de valores iguales o menores a Xi. Es decir, la frecuencia absoluta acumulada dividida por el número total de sujetos N.
Resuelve
y analiza los siguientes ejemplos.
La frecuencia de los alumnos que miden 1.60 m es 1; la frecuencia de los
alumnos que miden 1.55 m es 2, etcétera.
|
Estatura
|
Frecuencias
|
|
1.60 m
|
1
|
|
1.55 m
|
2
|
|
1.50 m
|
10
|
|
1.45 m
|
15
|
|
1.40 m
|
2
|
|
1.35 m
|
3
|
|
1.30 m
|
1
|
|
1.25 m
|
1
|
|
Total
|
35
|
Después de analizar la información de los
resultados, podemos responder las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es
la frecuencia de los alumnos que miden 1.45?
2. ¿Cuál es
la frecuencia de los alumnos de 1.30?
3. ¿Cuántos
integran el grupo?
4. ¿Cuántos
miden menos de 1.40?
5. ¿Cuál es
la diferencia de estatura entre el más alto y el más bajo?
Un dentista observa el número de caries en cada uno
de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida a parecer resumida
en la siguiente tabla:
|
Nº de caries
|
fi
|
ni
|
|
0
|
25
|
0.25
|
|
1
|
20
|
0.2
|
|
2
|
x
|
z
|
|
3
|
15
|
0.15
|
|
4
|
y
|
0.05
|
Completar
la tabla obteniendo los valores x, y, z.
-La suma
de las frecuencias relativas ha de ser igual a 1:
-La
frecuencia relativa de un dato es igual su frecuencia absoluta dividida entre
100, que es la suma de las frecuencias absolutas.
1.1.6 Frecuencia Relativa
La frecuencia
relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número
total de datos.
La frecuencia
relativa se puede
expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias
relativas es
igual a 1.
1.15 Frecuencia absoluta
La distribución o tabla de frecuencias es una tabla de los datos
estadísticos con sus correspondientes frecuencias.
·
Frecuencia
absoluta: el número de veces que aparece un valor, se representa con fi donde el subíndice representa cada uno de los valores.
La suma de las frecuencias
absolutas es igual al número total de datos, representado por N.
f1+f2+f3+…+fn=N
Equivalente
a
∑i=1nfi=N
·
Frecuencia relativa: el resultado de
dividir la frecuencia absoluta de un determinado valor entre el número total de
datos, se representa por ni.
ni=fiN
La suma de las frecuencias
relativas es igual a 1. Lo cual puede verse fácilmente si se factoriza N.
Ejemplo
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado
las siguientes temperaturas máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30,
32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable
ordenada de menor a mayor y en la segunda anotamos la frecuencia absoluta.
Ejemplo 2
Un profesor tiene la lista de las notas en matemáticas de 30
alumnos de su
clase. Las notas son las siguientes:
Primero
se realiza el recuento de la variable que se estudia (notas)
para ver el número de veces que aparece cada nota y obtener las frecuencias absolutas.
Las frecuencias absolutas son las siguientes: n1(3)=2, n2(4)=4, n3(5)=6, n4(6)=7, n5(7)=5, n6(8)=3, n7(9)=2 y n8(10)=1.
Finalmente se pueden calcular las frecuencias absolutas
acumuladas como la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a Xi:
§ N1(3)=n1(3)=2
§ N2(4)=n1(3)+n2(4)=2+4=6
§ N3(5)=n1(3)+n2(4)+n3(5)=2+4+6=12
§ N4(6)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)=2+4+6+7=19
§ N5(7)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)=2+4+6+7+5=24
§ N6(8)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)=2+4+6+7+5+3=27
§ N7(9)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)+n7(9)=2+4+6+7+5+3+2=29
§ N8(10)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)+n7(9)+n8(10)
§ =2+4+6+7+5+3+2+1=30
Si se
agrupan los datos en una tabla y a cada valor se le asigna
su frecuencia, se puede construir la tabla de
frecuencias.
§ Frecuencia
relativa (fi): de
un valor Xi es la proporción de
valores iguales a Xi. Es decir, la frecuencia absoluta de cada
valor dividida por el número total de elementos N.
§ Frecuencia relativa acumulada (Fi): de un valor Xi como
la proporción de valores iguales o menores a Xi. Es decir, la frecuencia absoluta acumulada dividida por el número total de sujetos N.
Resuelve
y analiza los siguientes ejemplos.
La frecuencia de los alumnos que miden 1.60 m es 1; la frecuencia de los
alumnos que miden 1.55 m es 2, etcétera.
|
Estatura
|
Frecuencias
|
|
1.60 m
|
1
|
|
1.55 m
|
2
|
|
1.50 m
|
10
|
|
1.45 m
|
15
|
|
1.40 m
|
2
|
|
1.35 m
|
3
|
|
1.30 m
|
1
|
|
1.25 m
|
1
|
|
Total
|
35
|
Después de analizar la información de los
resultados, podemos responder las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es
la frecuencia de los alumnos que miden 1.45?
2. ¿Cuál es
la frecuencia de los alumnos de 1.30?
3. ¿Cuántos
integran el grupo?
4. ¿Cuántos
miden menos de 1.40?
5. ¿Cuál es
la diferencia de estatura entre el más alto y el más bajo?
Un dentista observa el número de caries en cada uno
de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida a parecer resumida
en la siguiente tabla:
|
Nº de caries
|
fi
|
ni
|
|
0
|
25
|
0.25
|
|
1
|
20
|
0.2
|
|
2
|
x
|
z
|
|
3
|
15
|
0.15
|
|
4
|
y
|
0.05
|
Completar
la tabla obteniendo los valores x, y, z.
-La suma
de las frecuencias relativas ha de ser igual a 1:
-La
frecuencia relativa de un dato es igual su frecuencia absoluta dividida entre
100, que es la suma de las frecuencias absolutas.
1.1.6 Frecuencia Relativa
La frecuencia
relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número
total de datos.
La frecuencia
relativa se puede
expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias
relativas es
igual a 1.
1.15 Frecuencia absoluta
La distribución o tabla de frecuencias es una tabla de los datos
estadísticos con sus correspondientes frecuencias.
·
Frecuencia
absoluta: el número de veces que aparece un valor, se representa con fi donde el subíndice representa cada uno de los valores.
La suma de las frecuencias
absolutas es igual al número total de datos, representado por N.
f1+f2+f3+…+fn=N
Equivalente
a
∑i=1nfi=N
·
Frecuencia relativa: el resultado de
dividir la frecuencia absoluta de un determinado valor entre el número total de
datos, se representa por ni.
ni=fiN
La suma de las frecuencias
relativas es igual a 1. Lo cual puede verse fácilmente si se factoriza N.
Ejemplo
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado
las siguientes temperaturas máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30,
32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable
ordenada de menor a mayor y en la segunda anotamos la frecuencia absoluta.
Ejemplo 2
Un profesor tiene la lista de las notas en matemáticas de 30
alumnos de su
clase. Las notas son las siguientes:
Primero
se realiza el recuento de la variable que se estudia (notas)
para ver el número de veces que aparece cada nota y obtener las frecuencias absolutas.
Las frecuencias absolutas son las siguientes: n1(3)=2, n2(4)=4, n3(5)=6, n4(6)=7, n5(7)=5, n6(8)=3, n7(9)=2 y n8(10)=1.
Finalmente se pueden calcular las frecuencias absolutas
acumuladas como la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a Xi:
§ N1(3)=n1(3)=2
§ N2(4)=n1(3)+n2(4)=2+4=6
§ N3(5)=n1(3)+n2(4)+n3(5)=2+4+6=12
§ N4(6)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)=2+4+6+7=19
§ N5(7)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)=2+4+6+7+5=24
§ N6(8)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)=2+4+6+7+5+3=27
§ N7(9)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)+n7(9)=2+4+6+7+5+3+2=29
§ N8(10)=n1(3)+n2(4)+n3(5)+n4(6)+n5(7)+n6(8)+n7(9)+n8(10)
§ =2+4+6+7+5+3+2+1=30
Si se
agrupan los datos en una tabla y a cada valor se le asigna
su frecuencia, se puede construir la tabla de
frecuencias.
§ Frecuencia
relativa (fi): de
un valor Xi es la proporción de
valores iguales a Xi. Es decir, la frecuencia absoluta de cada
valor dividida por el número total de elementos N.
§ Frecuencia relativa acumulada (Fi): de un valor Xi como
la proporción de valores iguales o menores a Xi. Es decir, la frecuencia absoluta acumulada dividida por el número total de sujetos N.
Resuelve
y analiza los siguientes ejemplos.
La frecuencia de los alumnos que miden 1.60 m es 1; la frecuencia de los
alumnos que miden 1.55 m es 2, etcétera.
|
Estatura
|
Frecuencias
|
|
1.60 m
|
1
|
|
1.55 m
|
2
|
|
1.50 m
|
10
|
|
1.45 m
|
15
|
|
1.40 m
|
2
|
|
1.35 m
|
3
|
|
1.30 m
|
1
|
|
1.25 m
|
1
|
|
Total
|
35
|
Después de analizar la información de los
resultados, podemos responder las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es
la frecuencia de los alumnos que miden 1.45?
2. ¿Cuál es
la frecuencia de los alumnos de 1.30?
3. ¿Cuántos
integran el grupo?
4. ¿Cuántos
miden menos de 1.40?
5. ¿Cuál es
la diferencia de estatura entre el más alto y el más bajo?
Un dentista observa el número de caries en cada uno
de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida a parecer resumida
en la siguiente tabla:
|
Nº de caries
|
fi
|
ni
|
|
0
|
25
|
0.25
|
|
1
|
20
|
0.2
|
|
2
|
x
|
z
|
|
3
|
15
|
0.15
|
|
4
|
y
|
0.05
|
Completar
la tabla obteniendo los valores x, y, z.
-La suma
de las frecuencias relativas ha de ser igual a 1:
-La
frecuencia relativa de un dato es igual su frecuencia absoluta dividida entre
100, que es la suma de las frecuencias absolutas
1.1.6 Frecuencia Relativa
La frecuencia
relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número
total de datos.
La frecuencia
relativa se puede
expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias
relativas es
igual a 1.
1.
Los datos que se dan a continuación corresponden a los
pesos en Kg. de ochenta personas: (a) Obténgase una distribución de datos en
intervalos de amplitud 5, siendo el primer intervalo [50; 55]. (b) Calcúlese el
porcentaje de personas de peso menor que 65 Kg. (c) ¿Cuántas personas tienen
peso mayor o igual que 70 Kg. pero menor que 85?
60; 66; 77; 70; 66; 68; 57; 70;
66; 52; 75; 65; 69; 71; 58; 66; 67; 74; 61; 63; 69; 80; 59; 66; 70; 67; 78; 75;
64; 71; 81; 62; 64; 69; 68; 72; 83; 56; 65; 74; 67; 54; 65; 65; 69; 61; 67; 73;
57; 62; 67; 68; 63; 67; 71; 68; 76; 61; 62; 63; 76; 61; 67; 67; 64; 72; 64; 73;
79; 58; 67; 71; 68; 59; 69; 70; 66; 62; 63; 66;
(a)
Como se trata de efectuar una distribución de datos
agrupados, debemos obtener primero los intervalos correspondientes, situando
los datos en sus lugares respectivos:
(b)
) Observando la columna de frecuencias
acumuladas se deduce que existen N3 = 26 individuos cuyo peso es menor que 65
Kg., que en términos de porcentaje corresponden a:
(c)
El número de individuos con peso comprendido
entre 70 y 85 Kg. es:
Unos grandes almacenes disponen
de un aparcamiento para sus clientes. Los siguientes datos que se refieren al
número de horas que permanecen en el aparcamiento una serie de coches:
4 5 5 1 7 4 4 3 6 5 , 3 2 4 4 3 6 6 4 5 5 , 6
4 3 3 4 5 4 3 2 4 , 5 2 4 7 3 6 2 2 4 1 , 2 1 3 7 3 1 5 1 7 2 , 4 4 2 4 5 3 6 3
5 3.
Se pide: A- Obtener la tabla de
frecuencias para ese conjunto de datos. Interpretar la tabla. B- Obtener la
tabla de frecuencias ascendente y descendente. C- Determinar e interpretar la
tercera cuartilla y el centil del 42%. D- Calcular el tiempo medio de
permanencia de los coches en el aparcamiento. Interpretar el resultado y los
elementos que intervienen..
1.2
Nociones básicas de
conteo
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general
para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo
conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son
usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras
y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2maneras diferentes entonces, el
número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el
orden indicado, es igual a n1 x n2.
¿De cuántas maneras pueden repartirse
3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede
obtener más de un premio?
Aplicando
el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el
primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para
recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el
número de maneras
distintas de repartir los tres premios.
n
10 x 9 x 8 = 720
¿Cuántas placas de
automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se
admiten repeticiones.
2.
26 x 25 x 10 x 9 x 8
= 468000
n un
número entero positivo, el producto n (n-1)
(n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial
de n.
El símbolo ! se lee factorial y
es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; esdecir,
sea
n
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño,
es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar
un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.
Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:
* La
técnica de la multiplicación
* La tecnica aditiva
* La tecnica de la suma o Adicion
* La tecnica de la suma o Adicion
* La
técnica de la permutación
* La
técnica de la combinación.
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
Ejemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la
cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas
alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa
puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas
puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser
llevada a cabo de,
M +
N + .........+ W maneras o
formas
Ejemplos:
1) Una persona desea comprar una lavadora
de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas
Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra
que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11
kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o
semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres
tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo
un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay
semiautomática.
¿Cuántas maneras tiene esta
persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de
seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de
seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de
seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12
+ 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
Ejercicios resueltos del Principio
Multiplicativo
Ejercicios resueltos del Principio Multiplicativo.1.- Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se
pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos no pueden repetirse.
Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los seis dígitos restantes y finalmente el dígito de las unidades se
elegirá de los cinco últimos dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo , tendremos:
7x6x5 = 210 números
2.- Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos pueden
repetirse.
Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los siete dígitos y finalmente el dígito de las unidades se elegirá de los siete dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
7x7x7 = 343 números
3.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de tres asientos.
Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los tres lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los dos asientos restantes y el tercer niño se sentará en el único lugar que queda. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
3x2x1 = 6 maneras diferentes
4.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de cuatro asientos.
Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los cuatro lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los
tres asientos restantes y el tercer niño se sentará en alguna de los dos lugares que quedan disponibles quedando un lugar vacío.
Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
4x3x2 = 24 maneras diferentes
5.- Calcular cuántos passwords de cuatro letras distintas se pueden diseñar con las letras de la palabra MEMORIA.
Solución:
La palabra memoria tiene siete letras distintas, de modo que la primera letra del password puede elegirse de siete maneras, la segunda letra de seis maneras, la tercera de cinco maneras y la cuarta letra del password de cuatro maneras. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
7x6x5x4 = 840 passwords
6.- Calcular cuántos passwords de cuatro letras se pueden diseñar con las letras de la palabra memoria.
Solución:
En este problema no se indica la condición de que las letras deben ser distintas, por lo tanto, pueden repetirse y puesto que la palabra memoria tiene siete letras distintas, tendremos:
7x7x7x7 = 2401 passwords
7.- Calcular cuántas placas de automóvil se pueden hacer de manera que tengan tres letras seguidas de cuatro dígitos con la condición de que no pueden repetirse las letras ni los dígitos y deben ser seleccionados de los conjuntos {A,B.D.E.M.R} y
{1,3,4,5,7,8,9}.
Solución:
Las letras pueden elegirse de 6x5x4 = 120 maneras y los dígitos pueden elegirse de 7x6x5x4 = 840 maneras Por lo tanto, pueden hacerse 120x840 = 100,800 placas de automóvil.
8.- Calcular cuántos números de tres dígitos distintos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos
1,2,4,6,7,8,9.
Solución:
Tenemos siete dígitos, de los cuales tres de ellos son menores que seis, los cuales pueden ser elegidos para la posición de las centenas. Así, tenemos tres opciones para las centenas. Habiendo elegido el dígito para las centenas, cualquiera de los seis dígitos
restantes se pueden seleccionar para las decenas y los cinco restantes para las unidades. Por lo tanto, se pueden formar 3x6x5 = 90 números con las condiciones dadas.
9.- Calcular cuántos números de tres dígitos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos 1,2,4,6,7,8,9.
Solución:
En este caso los dígitos pueden repetirse, de modo que, como en el ejemplo anterior, las centenas pueden ser ocupadas por cualquiera de los dígitos 1,2,4 y las demás posiciones por cualquiera de los siete dígitos. Por lo tanto, tendremos 3x7x7 = 147 números
10.- Calcular cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MOUSE de modo que empiecen con consonante, terminen con vocal y que no se repitan las letras.
Solución;
La primera letra puede ser la M o la S, es decir, hay dos maneras; la última letra puede ser la O, la U o la E, o sea, hay tres maneras. Habiendo escogido la primera y la última letra, quedan tres letras para las posiciones intermedias y como no pueden repetirse tendremos 3x2x1 = 6 maneras para seleccionarlas. En total tendremos 2x6x3 = 36 palabras diferentes.
11.- Un Ingeniero en Sistemas va a ensamblar un servidor para la empresa en la cual trabaja. Tiene a su disposición tres tipos diferentes de procesadores, cuatro modelos de gabinete, memorias RAM de tres capacidades distintas y una tarjeta madre de dos
modelos distintos. ¿Cuántas opciones tiene para ensamblar el servidor?
3x3x4x2 = 72
PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:
Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los seis dígitos restantes y finalmente el dígito de las unidades se
elegirá de los cinco últimos dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo , tendremos:
7x6x5 = 210 números
2.- Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos pueden
repetirse.
Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los siete dígitos y finalmente el dígito de las unidades se elegirá de los siete dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
7x7x7 = 343 números
3.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de tres asientos.
Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los tres lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los dos asientos restantes y el tercer niño se sentará en el único lugar que queda. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
3x2x1 = 6 maneras diferentes
4.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de cuatro asientos.
Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los cuatro lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los
tres asientos restantes y el tercer niño se sentará en alguna de los dos lugares que quedan disponibles quedando un lugar vacío.
Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
4x3x2 = 24 maneras diferentes
5.- Calcular cuántos passwords de cuatro letras distintas se pueden diseñar con las letras de la palabra MEMORIA.
Solución:
La palabra memoria tiene siete letras distintas, de modo que la primera letra del password puede elegirse de siete maneras, la segunda letra de seis maneras, la tercera de cinco maneras y la cuarta letra del password de cuatro maneras. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
7x6x5x4 = 840 passwords
6.- Calcular cuántos passwords de cuatro letras se pueden diseñar con las letras de la palabra memoria.
Solución:
En este problema no se indica la condición de que las letras deben ser distintas, por lo tanto, pueden repetirse y puesto que la palabra memoria tiene siete letras distintas, tendremos:
7x7x7x7 = 2401 passwords
7.- Calcular cuántas placas de automóvil se pueden hacer de manera que tengan tres letras seguidas de cuatro dígitos con la condición de que no pueden repetirse las letras ni los dígitos y deben ser seleccionados de los conjuntos {A,B.D.E.M.R} y
{1,3,4,5,7,8,9}.
Solución:
Las letras pueden elegirse de 6x5x4 = 120 maneras y los dígitos pueden elegirse de 7x6x5x4 = 840 maneras Por lo tanto, pueden hacerse 120x840 = 100,800 placas de automóvil.
8.- Calcular cuántos números de tres dígitos distintos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos
1,2,4,6,7,8,9.
Solución:
Tenemos siete dígitos, de los cuales tres de ellos son menores que seis, los cuales pueden ser elegidos para la posición de las centenas. Así, tenemos tres opciones para las centenas. Habiendo elegido el dígito para las centenas, cualquiera de los seis dígitos
restantes se pueden seleccionar para las decenas y los cinco restantes para las unidades. Por lo tanto, se pueden formar 3x6x5 = 90 números con las condiciones dadas.
9.- Calcular cuántos números de tres dígitos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos 1,2,4,6,7,8,9.
Solución:
En este caso los dígitos pueden repetirse, de modo que, como en el ejemplo anterior, las centenas pueden ser ocupadas por cualquiera de los dígitos 1,2,4 y las demás posiciones por cualquiera de los siete dígitos. Por lo tanto, tendremos 3x7x7 = 147 números
10.- Calcular cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MOUSE de modo que empiecen con consonante, terminen con vocal y que no se repitan las letras.
Solución;
La primera letra puede ser la M o la S, es decir, hay dos maneras; la última letra puede ser la O, la U o la E, o sea, hay tres maneras. Habiendo escogido la primera y la última letra, quedan tres letras para las posiciones intermedias y como no pueden repetirse tendremos 3x2x1 = 6 maneras para seleccionarlas. En total tendremos 2x6x3 = 36 palabras diferentes.
11.- Un Ingeniero en Sistemas va a ensamblar un servidor para la empresa en la cual trabaja. Tiene a su disposición tres tipos diferentes de procesadores, cuatro modelos de gabinete, memorias RAM de tres capacidades distintas y una tarjeta madre de dos
modelos distintos. ¿Cuántas opciones tiene para ensamblar el servidor?
3x3x4x2 = 72
PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:
m+n maneras.
Ejemplo:
Una pareja que se tiene que casar, junta dinero
para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen
un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un
modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal.
¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?
PRESA
PLAYAS
Económico
Residencial
Condominio
Californiano
Provenzal
m=2
n=3
2+3= 5 maneras
PRINCIPIO DE PERMUTACION:
A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
FÓRMULA: n P r = n! (n - r)
Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?
Aplicando la formula de la permutación tenemos:
Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?
Aplicando la formula de la permutación tenemos:
n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12
*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760
Donde: n= número total de objetos r= número de objetos
seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !
EJERCICIOS RESUELTOS
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con
los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
m = 5 n = 5
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo
3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231,
321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que
las cifras sean diferentes.
2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho
personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las
8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede
repetir.
3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho
personas alrededor de una mesa redonda?
4. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos
números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9 a = 3
b = 4 c = 2
a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
5. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas
ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de
las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
6. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden
formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8
7. En el palo de señales de un barco se pueden izar
tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas
pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
8. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores
de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra
posición distinta que la portería?
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones
distintas.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
9. Una mesa presidencial está formada por ocho
personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el
secretario siempre van juntos?
Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo
de 7 personas, en los dos se cumple que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
10. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis
diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De
cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:
1. Los libros de cada asignatura deben estar todos
juntos.
2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
11. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas
blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre
sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?
12. Resolver las ecuaciones:
1. 
1..2.1 principio fundamental del conteo
El principio fundamental de
conteo establece
que si hay p formas
de hacer una cosa, y q formas
de hacer otra cosa, entonces hay p × q formas de hacer ambas cosas.
Ejemplo 1:
Suponga que tiene 3 camisas (llamémoslas A, B, y C), y 4
pares de pantalones (llamémoslos w, x, y, y z). Entonces Usted tiene
3 × 4 = 12
combinaciones posibles:
Aw, Ax, Ay, Az
Bw, Bx, By, Bz
Cw, Cx, Cy, Cz
Ejemplo 2:
Suponga que lanza un dado de 6 lados y saca una baraja de
un mazo de 52 barajas. Hay 6 resultados posibles con el dado, y 52 resultados
posibles con el mazo de barajas. Así, hay un total de
6 × 52 = 312
resultados posibles del experimento.
El principio de conteo puede extenderse a situaciones donde
tenga más de 2 opciones. Por ejemplo, si hay pformas de hacer una cosa, q formas para una segunda cosa, y r formas de hacer una tercera cosa, entonces hay p × q × r formas de
hacer las tres cosas.
El
principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los
posibles resultados cuando hay dos o más características que pueden variar.
Ejemplo:
El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa
y vainilla.
/ tasa de
chocolate
/ chocolate <
/ \ cono de chocolate
/
/ / tasa de fresa
<-- fresa <
\ \ cono de fresa
\
\ / tasa de vainilla
\ vainilla <
\ cono de vainilla
El
diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las posibilidades.
El diagrama de árbol también se puede ordenar de otra forma. Ambos diagramas
tienen un total de 6 resultados.
/ tasa de chocolate
/
/ tasa <-- tasa de fresa
/ \
/ \ tasa de vainilla
/
<
\
\ / cono de chocolate
\ /
\ cono <-- cono de fresa
\
\ cono de vainilla
Para
determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de
posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de
la segunda característica. En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener
6 posibles resultados.
Si
hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para
determinar el total de resultados.
